Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = - {x^4} + \left( {2m - 3}

Câu hỏi số 413012:

Vận dụng

Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = - {x^4} + \left( {2m - 3} \right){x^2} + m\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) là \(\left( { - \infty ;\dfrac{p}{q}} \right]\), trong đó \(\dfrac{p}{q}\) tối giản và \(q > 0\). Hỏi tồng \(p + q\) là:

A. \(5\)

B. \(9\)

C. \(7\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413012

Phương pháp giải

- Tính \(y'\).

- Hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;2} \right)\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right)\).

- Xác định \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right)\) và kết luận khoảng giá trị của \(m\), từ đó suy ra \(p,\,\,q\) và tính tổng \(p + q\).

Giải chi tiết

Hàm số đã cho xác định trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).

Ta có \(y' = - 4{x^3} + 2\left( {2m - 3} \right)x\).

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;2} \right)\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 4{x^3} + 2\left( {2m - 3} \right)x \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 2x\left( { - 2{x^2} + 2m - 3} \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + 2m - 3 \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 2m \le 2{x^2} + 3\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 2{x^2} + 3\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) ta có \(g'\left( x \right) = 4x > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 5\).

\( \Rightarrow 2m \le 5 \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{2}\) \( \Rightarrow m \in \left( { - \infty ;\dfrac{5}{2}} \right]\).

\( \Rightarrow \dfrac{p}{q} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow p = 5,\,\,q = 2\).

Vậy \(p + q = 5 + 2 = 7\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.