Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) khác 1 thỏa mãn \(\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b}

Câu hỏi số 413777:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) khác 1 thỏa mãn \(\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\). Tính giá trị của biểu thức \(S = 2{m^2} + 9{M^2}\).

A. \(S = 28\)

B. \(S = 25\)

C. \(S = 26\)

D. \(S = 27\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413777

Phương pháp giải

- Biến đổi \(\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\), đặt \(x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\).

- Từ biểu thức \(P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\), rút \(y\) theo \(x\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai ẩn \(x\), tham số \(P\). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó suy ra GTLN, GTNN của biểu thức \(P\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - {\log _a}\left( {{a^3}b} \right)\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - 3 - {\log _a}b\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}b.lo{g_b}c - 2{\log _b}c - {\log _a}b - 1\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\\P = 1 + {\log _a}b - 1 - {\log _b}c\\P = x - y \Rightarrow y = x - P\end{array}\)

Thay \(x,\,\,y\) vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = xy - 2y - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x - P} \right)^2} = x\left( {x - P} \right) - 2\left( {x - P} \right) - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 2x + 2P - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Để tồn tại các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (2) phải có nghiệm.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {P - 3} \right)^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 6P + 9 - 4{P^2} + 8P - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le P \le \dfrac{5}{3}\end{array}\)

Vậy \(m = - 1,\,\,M = \dfrac{5}{3}\) \( \Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2} = 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 9.{\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^2} = 27\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.