Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) khác 1 thỏa mãn \(\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\). Tính giá trị của biểu thức \(S = 2{m^2} + 9{M^2}\).

Câu 413777: Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) khác 1 thỏa mãn \(\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\). Tính giá trị của biểu thức \(S = 2{m^2} + 9{M^2}\).

A. \(S = 28\)

B. \(S = 25\)

C. \(S = 26\)

D. \(S = 27\)

Câu hỏi : 413777

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Biến đổi \(\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\), đặt \(x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\).

- Từ biểu thức \(P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\), rút \(y\) theo \(x\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai ẩn \(x\), tham số \(P\). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó suy ra GTLN, GTNN của biểu thức \(P\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - {\log _a}\left( {{a^3}b} \right)\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - 3 - {\log _a}b\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}b.lo{g_b}c - 2{\log _b}c - {\log _a}b - 1\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\\P = 1 + {\log _a}b - 1 - {\log _b}c\\P = x - y \Rightarrow y = x - P\end{array}\)

Thay \(x,\,\,y\) vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = xy - 2y - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x - P} \right)^2} = x\left( {x - P} \right) - 2\left( {x - P} \right) - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 2x + 2P - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Để tồn tại các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (2) phải có nghiệm.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {P - 3} \right)^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 6P + 9 - 4{P^2} + 8P - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le P \le \dfrac{5}{3}\end{array}\)

Vậy \(m = - 1,\,\,M = \dfrac{5}{3}\) \( \Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2} = 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 9.{\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^2} = 27\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.