Biết \(a,\,\,b\) là các số thực sao cho \({x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\), đồng thời

Câu hỏi số 415427:

Vận dụng cao

Biết \(a,\,\,b\) là các số thực sao cho \({x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\), đồng thời \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(\log \left( {x + y} \right) = z\) và \(\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1\). Giá trị của \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\) thuộc khoảng:

A. \(\left( {1;2} \right)\)

B. \(\left( {2;3} \right)\)

C. \(\left( {3;4} \right)\)

D. \(\left( {4;5} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:415427

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\log \left( {x + y} \right) = z\\\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {10^z}\\{x^2} + {y^2} = {10.10^z}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 10\left( {x + y} \right)\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) = a.{\left( {{{10}^z}} \right)^3} + b.{\left( {{{10}^z}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) = a.{\left( {x + y} \right)^3} + b.{\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - xy = a{\left( {x + y} \right)^2} + b\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - xy = a\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + b.\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{10}}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - xy = \left( {a + \dfrac{b}{{10}}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2a.xy\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 = a + \dfrac{b}{{10}}\\ - 1 = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = 15\end{array} \right.\).

Vậy \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = 4 + \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{{901}}{{225}} \approx 4,004 \in \left( {4;5} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.