Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + {\log _2}y + 1 \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y}
Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + {\log _2}y + 1 \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x + 2y\) bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _2}x + {\log _2}y \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2xy} \right) \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right)\\ \Leftrightarrow 2xy \ge {x^2} + 2y\\ \Leftrightarrow 2y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2}\end{array}\).
Nếu \(x \le 1\), khi đó ta có \(VT \le 0,\,\,VP > 0\) (vô lí) \( \Rightarrow x > 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2y \ge \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}\,\,\left( {x > 1} \right)\\ \Rightarrow x + 2y \ge x + \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} = f\left( x \right)\,\,\left( {x > 1} \right)\end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 1 + \dfrac{{2x\left( {x - 1} \right) - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = 1 + \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2} > 1\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2} < 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(f\left( x \right) \ge 3 + 2\sqrt 2 \Leftrightarrow x + 2y \ge 3 + 2\sqrt 2 \).
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
