Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - m} \). Số giá

Câu hỏi số 418124:

Vận dụng cao

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - m} \). Số giá trị của tham số \(m\) để \(F\left( {\sqrt 2 } \right) = \dfrac{7}{3}\) và \(F\left( {\sqrt 5 } \right) = \dfrac{{14}}{3}\) là:

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418124

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = \sqrt {{x^2} - m} \) để tính \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \).

- Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( {\sqrt 2 } \right) = \dfrac{7}{3}\\F\left( {\sqrt 5 } \right) = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.\), sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để tìm \(m\).

Giải chi tiết

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {x\sqrt {{x^2} - m} dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - m} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - m \Leftrightarrow tdt = xdx\).

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \int {t.tdt} = \int {{t^2}dt} = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - m} } \right)}^3}}}{3} + C\).

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( {\sqrt 2 } \right) = \dfrac{7}{3}\\F\left( {\sqrt 5 } \right) = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\\dfrac{{{{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\\dfrac{{{{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)}^3}}}{3} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} = \dfrac{7}{3}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} = 7\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} - 7 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(f\left( m \right) = {\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} - 7\) với \(m \le 2\).

Ta có \(f'\left( m \right) = - \dfrac{3}{2}\sqrt {5 - m} + \dfrac{3}{2}\sqrt {2 - m} = \dfrac{3}{2}\left( {\sqrt {2 - m} - \sqrt {5 - m} } \right)\).

Vì \(2 - m < 5 - m\,\,\forall m \le 2\) \( \Rightarrow \sqrt {2 - m} < \sqrt {5 - m} \,\,\forall m \le 2\), do đó \(f'\left( m \right) < 0\,\,\forall m \le 2\).

Suy ra hàm số \(f\left( m \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right]\).

Khi đó phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm, mà \(f\left( 1 \right) = 0\) nên \(m = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.