Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và có thể tích \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\). Tìm số \(r > 0\) sao cho tồn tại điểm \(J\) nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ \(J\) đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng \(r\)?

Câu 418782: Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và có thể tích \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\). Tìm số \(r > 0\) sao cho tồn tại điểm \(J\) nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ \(J\) đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng \(r\)?

A. \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)   

B. \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Câu hỏi : 418782
  • Đáp án : D
    (2) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) .

    Vì khoảng cách từ \(J\) đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng \(r\) nên \(J \in SO\).

    Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\) ta có:

    \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CD\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right)\end{array}\)

    Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(JK\parallel OH \Rightarrow JK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {J;\left( {SCD} \right)} \right) = JK\).

    Có \(d\left( {J;\left( {ABCD} \right)} \right) = JO\).

    Theo bài ra ta có \(JK = JO = r\).

    Ta có \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{1}{3}SO.{a^2} \Rightarrow SO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(OH = \dfrac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

    Áp dụng định lí Ta-lét ta có

    \(\begin{array}{l}\dfrac{{JK}}{{OH}} = \dfrac{{SJ}}{{SO}} \Rightarrow \dfrac{r}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - r}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\\ \Leftrightarrow 2r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - r\\ \Leftrightarrow 3r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array}\)

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com