Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và có thể tích \(V =
Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và có thể tích \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\). Tìm số \(r > 0\) sao cho tồn tại điểm \(J\) nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ \(J\) đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng \(r\)?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) .
Vì khoảng cách từ \(J\) đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng \(r\) nên \(J \in SO\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CD\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right)\end{array}\)
Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(JK\parallel OH \Rightarrow JK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {J;\left( {SCD} \right)} \right) = JK\).
Có \(d\left( {J;\left( {ABCD} \right)} \right) = JO\).
Theo bài ra ta có \(JK = JO = r\).
Ta có \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{1}{3}SO.{a^2} \Rightarrow SO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(OH = \dfrac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{{JK}}{{OH}} = \dfrac{{SJ}}{{SO}} \Rightarrow \dfrac{r}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - r}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\\ \Leftrightarrow 2r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - r\\ \Leftrightarrow 3r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
