Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). \({d_B},\,\,{d_C}\) lần lượt là đường thẳng đi qua \(B,\,\,C\) và vuông góc \(\left( {ABC} \right)\). \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và hợp với \(\left( {ABC} \right)\) một góc bằng \({60^0}\). \(\left( P \right)\) cắt \({d_B},\,\,{d_C}\) tại \(D\) và \(E\). \(AD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\), \(AE = a\sqrt 3 \). Đặt \(\beta = \angle DAE\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Câu 418783: Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). \({d_B},\,\,{d_C}\) lần lượt là đường thẳng đi qua \(B,\,\,C\) và vuông góc \(\left( {ABC} \right)\). \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và hợp với \(\left( {ABC} \right)\) một góc bằng \({60^0}\). \(\left( P \right)\) cắt \({d_B},\,\,{d_C}\) tại \(D\) và \(E\). \(AD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\), \(AE = a\sqrt 3 \). Đặt \(\beta = \angle DAE\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. \(\beta = {60^0}\)

B. \(\sin \beta = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\)

C. \(\sin \beta = \dfrac{2}{{\sqrt 6 }}\)

D. \(\beta = {30^0}\)

Câu hỏi : 418783

Quảng cáo

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Trong \(\left( {BCED} \right)\) kéo dài \(BC,\,\,DE\) cắt nhau tại \(F\).

Đăt \(CF = x\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow BF = a + x\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(ABF\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,A{F^2} = {a^2} + {\left( {a + x} \right)^2} - 2a.\left( {a + x} \right).\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow A{F^2} = 2{a^2} + 2ax + {x^2} - {a^2} - ax\\ \Leftrightarrow A{F^2} = {a^2} + ax + {x^2}\\ \Leftrightarrow AF = \sqrt {{a^2} + ax + {x^2}} \end{array}\)

Trong \(\left( {ADF} \right)\) kẻ \(DH \bot AF\,\,\left( {H \in AF} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AF \bot DH\\AF \bot BD\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AF \bot \left( {BDH} \right) \Rightarrow AF \bot BH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \equiv \left( {ADF} \right) \cap \left( {ABC} \right) \equiv \left( {ABF} \right) = AF\\DH \subset \left( {ADF} \right),\,\,DH \bot AF\\BH \subset \left( {ABF} \right),\,\,BH \bot AF\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ADF} \right);\left( {ABF} \right)} \right) = \angle \left( {DH;BH} \right) = \angle BHD = {60^0}\).

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABF}} = \dfrac{1}{2}BH.AF = \dfrac{1}{2}AB.BF.\sin {60^0}\\ \Rightarrow BH = \dfrac{{a.\left( {a + x} \right).\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + ax + {x^2}} }}\end{array}\)

Xét tam giác vuông \(BDH\) có: \(DH = \dfrac{{BH}}{{\cos {{60}^0}}} = \dfrac{{\sqrt 3 a.\left( {a + x} \right)}}{{\sqrt {{a^2} + ax + {x^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ADF}} = \dfrac{1}{2}DH.AF\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 a.\left( {a + x} \right)}}{{\sqrt {{a^2} + ax + {x^2}} }}.\sqrt {{a^2} + ax + {x^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\sqrt 3 a.\left( {a + x} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ADF}}}} = \dfrac{{DE}}{{DF}} = \dfrac{{BC}}{{BF}} = \dfrac{a}{{a + x}}\\ \Rightarrow {S_{ADE}} = \dfrac{a}{{a + x}}.\dfrac{1}{2}\sqrt 3 a\left( {a + x} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}.AD.AE.\sin \beta = \dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.a\sqrt 3 .\sin \beta = \sqrt 3 {a^2}\\ \Leftrightarrow \sin \beta = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{6}{{3\sqrt 6 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 6 }}\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.