Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc

Câu hỏi số 418781:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc \(d:\,\,\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\) và tiếp xúc với \(\left( P \right):\,\,3x + 2y + z - 6 = 0\), \(\left( Q \right):\,\,2x + 3y + z = 0\) là:

A. \({\left( {x - 11} \right)^2} + {\left( {y - 17} \right)^2} + {\left( {z + 17} \right)^2} = \dfrac{{65}}{{14}}\)

B. \({\left( {x + 11} \right)^2} + {\left( {y + 17} \right)^2} + {\left( {z - 17} \right)^2} = 224\)

C. \({\left( {x + 11} \right)^2} + {\left( {y + 17} \right)^2} + {\left( {z - 17} \right)^2} = 229\)

D. \({\left( {x - 11} \right)^2} + {\left( {y + 17} \right)^2} + {\left( {z + 17} \right)^2} = 225\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418781

Phương pháp giải

- Tham số hóa tọa độ tâm \(I \in d\) theo tham số \(t\).

- Vì mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = d\left( {I;\left( Q \right)} \right)\).

- Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

- Giải phương trình tìm \(t\), từ đó suy ra tâm \(I\) và bán kính \(R = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\).

- Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\).

Giải chi tiết

Gọi tâm của mặt cầu thuộc đường thẳng \(d\) là \(I\left( { - 2 + t;\,\,1 + 2t;\,\, - 1 - 2t} \right)\).

Vì mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = d\left( {I;\left( Q \right)} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3.\left( { - 2 + t} \right) + 2.\left( {1 + 2t} \right) + 1.\left( { - 1 - 2t} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 2 + t} \right) + 3.\left( {1 + 2t} \right) + \left( { - 1 - 2t} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| { - 6 + 3t + 2 + 4t - 1 - 2t - 6} \right| = \left| { - 4 + 2t + 3 + 6t - 1 - 2t} \right|\\ \Leftrightarrow \left| { - 11 + 5t} \right| = \left| { - 2 + 6t} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 11 + 5t = - 2 + 6t\\ - 11 + 5t = 2 - 6t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 9\\t = \dfrac{{13}}{{11}}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = - 9\) \( \Rightarrow I\left( { - 11; - 17;17} \right)\), bán kính mặt cầu \(R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 11 + 5.\left( { - 9} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 4\sqrt {14} \).

\( \Rightarrow \) Mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x + 11} \right)^2} + {\left( {y + 17} \right)^2} + {\left( {z - 17} \right)^2} = 224\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.