Cho tứ diện \(OABC\)có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc, gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)

Câu hỏi số 419773:

Vận dụng

Cho tứ diện \(OABC\)có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc, gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) (tham khảo hình vẽ bên). Biết \(OA = a,\)\(OB = OC = a\sqrt 2 \), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(OM\) bằng:

A. \(\dfrac{a}{2}\)

B. \(a\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(a\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:419773

Phương pháp giải

- Xác định \(\left( P \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(OM\), khi đó \(d\left( {OM;AB} \right) = d\left( {OM;\left( P \right)} \right) = d\left( {O;\left( P \right)} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Trong \(\left( {OBC} \right)\) dựng hình bình hành \(OMBN\) như hình vẽ, ta có \(BN\parallel OM \Rightarrow OM\parallel \left( {ABN} \right) \supset AB\).

\( \Rightarrow d\left( {OM;AB} \right) = d\left( {OM;\left( {ABN} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {ABN} \right)} \right)\).

Vì \(OB = OC = a\sqrt 2 \Rightarrow \Delta OBC\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow OM \bot BC\) \( \Rightarrow OMBN\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow ON \bot BN\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BN \bot ON\\BN \bot OA\,\,\left( {OA \bot \left( {OBC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BN \bot \left( {OAN} \right)\).

Trong \(\left( {OAN} \right)\) kẻ \(OH \bot AN\,\,\left( {H \in AN} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AN\\OH \bot BN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABN} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABN} \right)} \right) = OH\).

\( \Rightarrow d\left( {OM;AB} \right) = OH\).

Vì \(OMBN\) là hình chữ nhật nên \(ON = BM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 2 .\sqrt 2 = a\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAN\) ta có: \(OH = \dfrac{{OA.ON}}{{\sqrt {O{A^2} + O{N^2}} }} = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.