Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 419772:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(SA\) vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ bên). Biết \(AB = BC = a,\)\(AD = 2a,\)\(SA = x\). Tìm \(x\) theo \(a\) để số đo góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(30^\circ \).

A. \(x = a\sqrt 2 \)

B. \(x = a\sqrt 6 \)

C. \(x = 2a\)

D. \(x = a\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:419772

Phương pháp giải

Chứng minh \(AC \bot CD\).

Tìm \(\angle SCA \Rightarrow \) quan hệ giữa x và a.

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\), ta có \(AB = BC = AE = a,\,\,BC\parallel AE,\,\,\angle ABC = {90^0}\) \( \Rightarrow ABCE\) là hình vuông.

\( \Rightarrow CE = a = \dfrac{1}{2}AD\) \( \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right)\)

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SC\,\,\,\left( {H \in SC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CD\\AH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow SH\) là hình chiếu của \(SA\) lên \(\left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA;SH} \right) = \angle ASH = \angle ASC = {30^0}\).

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\) \( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(AC = a\sqrt 2 \) (do \(ABCE\) là hình vuông cạnh \(a\))

\( \Rightarrow SA = x = AC.\cot {30^0} = a\sqrt 2 .\sqrt 3 = a\sqrt 6 \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.