Cho hình trụ bán kính đường tròn đáy bằng 1. Hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt thuộc hai

Câu hỏi số 419774:

Vận dụng

Cho hình trụ bán kính đường tròn đáy bằng 1. Hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt thuộc hai đường tròn đáy sao cho \(AB = \sqrt 6 \), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và trục của hình trụ bằng \(\dfrac{1}{2}\). Thể tích khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó bằng:

A. \(6\pi \)

B. \(\pi \sqrt 6 \)

C. \(\pi \sqrt 3 \)

D. \(3\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:419774

Phương pháp giải

- Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên đường tròn đáy chứa điểm \(B\). Sử dụng định lí: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia, chứng minh \(d\left( {OO';AB} \right) = d\left( {O';\left( {AA'B} \right)} \right)\).

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(A'B\), chứng minh \(O'H \bot \left( {AA'B} \right)\).

- Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính chiều cao của hình trụ.

- Thể tích khối trụ có chiều cao , bán kính đáy \(r\) là .

Giải chi tiết

Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm đường tròn đáy chứa \(A,\,\,B\).

Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên đường tròn đáy chứa điểm \(B\).

Ta có \(AA'\parallel OO' \Rightarrow OO'\parallel \left( {AA'B} \right) \supset AB\) \( \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = d\left( {O';\left( {AA'B} \right)} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(A'B\), ta có \(O'H \bot A'B\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow O'H \bot \left( {AA'B} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = OH = \dfrac{1}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(O'HB\) có \(HB = \sqrt {O'{B^2} - O'{H^2}} = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow A'B = 2HB = \sqrt 3 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông có: \(AA' = \sqrt {A{B^2} - A'{B^2}} = \sqrt {6 - 3} = \sqrt 3 \).

Vậy thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.1^2}.\sqrt 3 = \pi \sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.