Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 4x - 2\) có

Câu hỏi số 420096:

Vận dụng

Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 4x - 2\) có độ dài đoạn nghịch biến là \(2\sqrt 5 \).

A. \(m \in \left\{ {2; - 4} \right\}\)

B. \(m \in \left\{ { - 2;4} \right\}\)

C. \(m \in \left\{ {1;3} \right\}\)

D. \(m \in \left\{ { - 1;3} \right\}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420096

Phương pháp giải

- Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng \(2\sqrt 5 \) \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt 5 \).

- Tìm điều kiện để \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4\).

+ Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng \(2\sqrt 5 \) \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt 5 \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 20\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m + 1 > 2\\m + 1 < - 2\end{array} \right.\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - 16 = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 4\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left\{ {2; - 4} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.