Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1\)

Câu hỏi số 420097:

Vận dụng

Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1\) đồng biến trên đoạn có độ bài bằng 3 đơn vị?

A. \(m = - \dfrac{3}{4}\)

B. \(m > - 3\)

C. \(m \ge - \dfrac{3}{4}\)

D. \(m \in \emptyset \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420097

Phương pháp giải

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' = - {x^2} + 4x + m - 1\).

+ Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3 \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 + m - 1 > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = 1 - m\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 3\\16 - 4 + 4m = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 3\\m = - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{3}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.