Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + 1\)

Câu hỏi số 420098:

Vận dụng

Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + 1\) nghịch biến trên đoạn có độ dài không nhỏ hơn 2 đơn vị?

A. \(m \le \dfrac{1}{2}\)

B. \(m < \dfrac{5}{2}\)

C. \(m = 2\)

D. \(m \le 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420098

Phương pháp giải

- Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài không nhỏ hơn 2 đơn vị \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \ge 2\)

- Tìm điều kiện để \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' = {x^2} + 4x + 2m - 1\).

+ Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài không nhỏ hơn 2 đơn vị \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \ge 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - 2m + 1 > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \ge 4\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{5}{2}\\16 - 4\left( {2m - 1} \right) \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{5}{2}\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.