Xác định \(m\) để hàm số \(y = - {x^3} + 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {2 - {m^2}} \right)x + 1\)

Câu hỏi số 420099:

Vận dụng

Xác định \(m\) để hàm số \(y = - {x^3} + 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {2 - {m^2}} \right)x + 1\) đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng \(4\sqrt 6 \).

A. \(m = \dfrac{{21}}{2}\)

B. \(m = - \dfrac{3}{2}\)

C. \(m = - 2 \pm \sqrt {46} \)

D. Kết quả khác

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420099

Phương pháp giải

- Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng \(4\sqrt 6 \) \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\sqrt 6 \).

- Tìm điều kiện để \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

+ Ta có: \(y' = - 3{x^2} + 6\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {2 - {m^2}} \right)\).

+ Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng \(4\sqrt 6 \) \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\sqrt 6 \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9{\left( {m + 1} \right)^2} + 9\left( {2 - {m^2}} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 96\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).

+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\end{array} \right.\).

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}18m + 27 > 0\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 2} \right) = 96\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \dfrac{3}{2}\\8m + 12 = 96\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \dfrac{3}{2}\\m = \dfrac{{21}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{{21}}{2}\) .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.