Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng \(3\), tính bán kính mặt đáy của

Câu hỏi số 420278:

Vận dụng cao

Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng \(3\), tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất.

A. Đáp án khác

B. \(R = 4\sqrt 2 \)

C. \(R = \sqrt 2 \)

D. \(R = 2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420278

Phương pháp giải

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông biểu diễn \(R\) theo \(h\).

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích khối nón

Giải chi tiết

Giả sử chóp đỉnh A như hình vẽ và hình chóp này có thể tích lớn nhất.

Gọi \(O,\,\,I\) lần lượt là tâm mặt cầu và tâm đường tròn đáy của hình nón, \(IK\) là 1 bán kính đáy của hình nón. Kéo dài \(AI\) cắt mặt cầu tại điểm thứ hai là \(M\,\,\left( {M \ne A} \right)\).

Gọi \(R,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và đường cao của hình nón \(\left( {0 < h < 6} \right)\).

Xét tam giác \(AKM\) vuông tại \(K\) có đường cao \(IK\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(I{K^2} = AI.IM \Rightarrow {R^2} = h.\left( {6 - h} \right)\).

Khi đó thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{h^2}\left( {6 - h} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( h \right) = {h^2}\left( {6 - h} \right) = - {h^3} + 6{h^2}\), với \(0 < h < 6\) ta có:

\(f'\left( h \right) = - 3{h^2} + 12h = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\h = 4\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} f\left( h \right) = f\left( 4 \right) = 32\).

Vậy \({V_{\max }} = \dfrac{1}{3}\pi .32 = \dfrac{{32\pi }}{3}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow h = 4 \Leftrightarrow R = \sqrt {h\left( {6 - h} \right)} = 2\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.