Cho hình nón \(\left( N \right)\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Đường kính \(2a\) và đường cao \(SO

Câu hỏi số 420279:

Vận dụng cao

Cho hình nón \(\left( N \right)\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Đường kính \(2a\) và đường cao \(SO = a\). Cho điểm \(H\) thay đổi trên đoạn thẳng \(SO\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(SO\) tại \(H\) cắt hình nó theo đường tròn \(\left( C \right)\). Khối nón có đỉnh là \(O\) và đáy là hình tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất bằng nhau bao nhiêu?

A. \(\dfrac{{2\pi {a^3}}}{{81}}\)

B. \(\dfrac{{4\pi {a^3}}}{{81}}\)

C. \(\dfrac{{7\pi {a^3}}}{{81}}\)

D. \(\dfrac{{8\pi {a^3}}}{{81}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420279

Phương pháp giải

- Giả sử mặt phẳng qua trục cắt hình nón đỉnh \(S\) và đỉnh \(O\) theo thiết diện lần lượt là \(\Delta SAB\) và \(\Delta OCD\).

- Chứng minh \(\Delta SOA\) vuông cân, từ đó suy ra \(\Delta SHC\) cũng vuông cân tại \(H\).

- Đặt \(SH = HC = x\) \(\left( {0 < x < a} \right)\), tính \(OH\) theo \(a,\,\,x\).

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích.

Giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng qua trục cắt hình nón đỉnh \(S\) và đỉnh \(O\) theo thiết diện lần lượt là \(\Delta SAB\) và \(\Delta OCD\) như hình vẽ.

Theo bài ra ta có \(AB = 2a \Rightarrow OA = a = SO\) \( \Rightarrow \Delta SOA\) vuông cân tại \(S\) \( \Rightarrow \angle SAB = {45^0}\).

\( \Rightarrow \angle SCD = \angle SAB = {45^0}\) (đồng vị).

\( \Rightarrow \Delta SHC\) vuông cân tại \(H\).

Đặt \(SH = HC = x\,\,\left( {0 < x < a} \right)\) \( \Rightarrow OH = SO - SH = a - x\).

Khi đó ta có thể tích khối nón đỉnh \(O\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi .H{C^2}.OH = \dfrac{1}{3}\pi .{x^2}\left( {a - x} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {a - x} \right) = - {x^3} + a{x^2}\) với \(0 < x < a\) ta có;

\(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 2ax = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{{2a}}{3}\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;a} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{{2a}}{3}} \right) = \dfrac{{4{a^3}}}{{27}}\).

Vậy \({V_{\max }} = \dfrac{{4\pi {a^3}}}{{81}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.