Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\), bán kính \(R = 5\). Một đường thẳng \(\Delta \) cắt
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\), bán kính \(R = 5\). Một đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( S \right)\) tại 2 điểm \(M,\,\,N\) phân biệt nhưng không đi qua \(I\). Đặt \(MN = 2m\). Với giá trị nào của \(m\) thì diện tích tam giác \(IMN\) lớn nhất?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\), tính \(IH\) theo \(m\).
- Tính \({S_{\Delta IMN}} = \dfrac{1}{2}IH.MN\).
- Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm: \(\sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\), ta có \(IH \bot MN\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Ta có \(MN = 2m \Rightarrow MH = m\,\,\left( {m > 0} \right)\). Áp dụng định lí Pytago ta có: \(IH = \sqrt {I{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {25 - {m^2}} \).
\( \Rightarrow {S_{\Delta IMN}} = \dfrac{1}{2}IH.MN = \dfrac{1}{2}\sqrt {25 - {m^2}} .2m = m\sqrt {25 - {m^2}} \).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(m\sqrt {25 - {m^2}} \le \dfrac{{{m^2} + 25 - {m^2}}}{2} = \dfrac{{25}}{2}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {m^2} = 25 - {m^2} \Leftrightarrow m = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy diện tích tam giác \(IMN\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{{25}}{2}\) khi và chỉ khi \(m = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
