Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD (tham khảo hình

Câu hỏi số 421323:

Vận dụng

Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD (tham khảo hình
vẽ dưới). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM theo a

A. \(\dfrac{{a\sqrt {33} }}{{11}}\).

B. \(\dfrac{a}{{\sqrt {33} }}\).

C. \(\dfrac{a}{{\sqrt {22} }}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:421323

Phương pháp giải

\(\left\{ \begin{array}{l}a//\left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( P \right)} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi H là tâm của tam giác đều ACD \( \Rightarrow BH \bot \left( {ACD} \right)\)

Dựng hình chữ nhật AMHE (như hình vẽ). Kẻ HF vuông góc BE.

Do \(CM//AE \subset \left( {ABE} \right) \Rightarrow CM//\left( {ABE} \right) \Rightarrow d\left( {CM;AB} \right) = d\left( {CM;\left( {ABE} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {ABE} \right)} \right) = HF\)

Thật vậy:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot HE\,\,\left( {do\,\,HE//AD} \right)\\CM \bot BH\,\,\left( {do\,\,BH \bot \left( {ACD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {BEH} \right) \Rightarrow CM \bot HF \Rightarrow AE \bot HF\).

Mà \(BE \bot HF \Rightarrow HF \bot \left( {ABE} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {ABE} \right)} \right) = HF\).

Ta có: \(HE = AM = \dfrac{a}{2}\), \(BH = \sqrt {B{C^2} - C{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{H{E^2}}} + \dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}} \Rightarrow HF = \dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}}\)\( \Rightarrow d\left( {CM;AB} \right) = \dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.