Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2020 + x - 2\cos x} \right) + \sin x - x\)

Câu hỏi số 421324:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2020 + x - 2\cos x} \right) + \sin x - x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. Vô số.

B. \(2\).

C. \(1\).

D. \(0\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:421324

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \max f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

- Sử dụng kết quả: \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

- Giải bất phương trình chứa căn: \(\sqrt A \le B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A \le {B^2}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) = m\left( {2020 + x - 2\cos x} \right) + \sin x - x\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 2m\sin x + \cos x + m - 1\end{array}\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(f'\left( x \right) \le 0,\,\forall x\) (bằng 0 tại hữu hạn điểm) (*)

Ta có:

\(\begin{array}{l} - \sqrt {4{m^2} + 1} \le 2m\sin x + \cos x \le \sqrt {4{m^2} + 1} \\ \Leftrightarrow - \sqrt {4{m^2} + 1} + m - 1 \le 2m\sin x + \cos x + m - 1 \le \sqrt {4{m^2} + 1} + m - 1\end{array}\)

Khi đó: (*) tương đương: \(\max f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {4{m^2} + 1} + m - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4{m^2} + 1} \le 1 - m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\4{m^2} + 1 \le 1 - 2m + {m^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\3{m^2} + 2m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\ - \dfrac{2}{3} \le m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - \dfrac{2}{3} \le m \le 0\end{array}\)

Mà \(m\) là số nguyên \( \Rightarrow m = 0\).

Vậy có 1 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.