Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(J\) thay đổi thuộc

Câu hỏi số 422860:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(J\) thay đổi thuộc \(\left( C \right)\) như hình vẽ bên. Hình chữ nhật \(ITJV\)có chu vi nhỏ nhất bằng:

A. \(2\sqrt 2 .\)

B. \(6.\)

C. \(4\sqrt 2 .\)

D. \(4.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422860

Phương pháp giải

- Gọi \(J\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a - 1}}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( {a > 1} \right)\).

- Suy ra tọa độ các điểm \(I,\,\,T,\,\,V\).

- Tính độ dài \(IV,\,\,IT\).

- Áp dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật \(ITJV\): \(C = 2\left( {IV + IT} \right)\).

- Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số \(a,\,\,b\) không âm: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Giải chi tiết

Gọi \(J\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a - 1}}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\dfrac{{2a}}{{a - 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a > 1\).

Khi đó ta có: \(I\left( {1;2} \right);\,\,V\left( {a;2} \right);\,\,\,T\left( {1;\dfrac{{2a}}{{a - 1}}} \right)\).

\( \Rightarrow IV = a - 1,\,\,IT = \dfrac{{2a}}{{a - 1}} - 2 = \dfrac{2}{{a - 1}}\).

Khi đó chu vi hình chữ nhật \(ITJV\) là: \(C = 2\left( {IV + IT} \right) = 2\left( {a - 1 + \dfrac{2}{{a - 1}}} \right)\).

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(a - 1\) và \(\dfrac{2}{{a - 1}}\) ta có: \(a - 1 + \dfrac{2}{{a - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {a - 1} \right).\dfrac{2}{{a - 1}}} = 2\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a - 1 = \dfrac{2}{{a - 1}} \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\\a = 1 - \sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy hình chữ nhật \(ITJV\) có chu vi nhỏ nhất \({C_{\min }} = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow a = 1 + \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.