Trong hình vẽ bên các đường cong \(\left( {{C_1}} \right):y = {a^x},\)\(\left( {{C_2}} \right):y = {b^y},\)\(\left( {{C_3}} \right):y = {c^z}\) và đường thẳng \(y = 4,\)\(y = 8\) tạo thành hình vuông \(MNPQ\) có canh bằng 4. Biết rằng \(abc = {2^{\frac{x}{y}}}\) với \(\dfrac{x}{y}\) tối giản và \(x,y \in {\mathbb{Z}^ + }\). Giá trị của \(x + y\) bằng:

Câu 422861: Trong hình vẽ bên các đường cong \(\left( {{C_1}} \right):y = {a^x},\)\(\left( {{C_2}} \right):y = {b^y},\)\(\left( {{C_3}} \right):y = {c^z}\) và đường thẳng \(y = 4,\)\(y = 8\) tạo thành hình vuông \(MNPQ\) có canh bằng 4. Biết rằng \(abc = {2^{\frac{x}{y}}}\) với \(\dfrac{x}{y}\) tối giản và \(x,y \in {\mathbb{Z}^ + }\). Giá trị của \(x + y\) bằng:

A. \(24.\)

B. \(5.\)

C. \(43.\)

D. \(19.\)

Câu hỏi : 422861

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Vì \(MNPQ\) là hình vuông cạnh \(MN = 4\) nên biểu diễn mối quan hệ giữa \(m,\,\,n\).

- Dựa vào \(M,\,\,P\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {b^x}\), rút ra phương trình và tìm \(b\).

- Từ giá trị \(b\) tìm được, tìm \(m,\,\,n\).

- Thay tọa độ điểm \(N,\,\,Q\) các các đồ thị hàm số \(y = {a^x},\,\,y = {c^x}\) tìm \(a,\,\,c\).

- Tính tích \(abc\), từ đó suy ra \(x,\,\,y\) và tính tổng \(x + y\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(M\left( {m;4} \right);\,\,N\left( {m;8} \right);\,\,P\left( {n;8} \right);\,\,\,Q\left( {n;4} \right)\).

Vì \(MNPQ\) là hình vuông cạnh \(MN = 4\) nên \(MQ = NP = 4\) \( \Rightarrow n - m = 4\,\,\left( * \right)\).

Vì \(M\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {b^x}\) nên \({b^m} = 4\).

Vì \(P\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {b^x}\) nên \({b^n} = 8\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{b^n}}}{{{b^m}}} = \dfrac{8}{4} = 2 \Leftrightarrow {b^{n - m}} = 2 \Leftrightarrow {b^4} = 2 \Leftrightarrow b = \sqrt[4]{2} = {2^{\frac{1}{4}}}\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt[4]{2}} \right)^m} = 4\\{\left( {\sqrt[4]{2}} \right)^n} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 8\\n = 12\end{array} \right.\).

Vì \(N\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nên \({a^m} = 8 \Leftrightarrow {a^8} = 8 \Leftrightarrow a = \sqrt[8]{8} = {8^{\frac{1}{8}}} = {2^{\frac{3}{8}}}\).

Vì \(Q\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {c^x}\) nên \({c^n} = 4 \Leftrightarrow {c^{12}} = 4 \Leftrightarrow c = \sqrt[{12}]{4} \Leftrightarrow c = {4^{\frac{1}{{12}}}} = {2^{\frac{1}{6}}}\).

\( \Rightarrow abc = {2^{\frac{3}{8}}}{.2^{\frac{1}{4}}}{.2^{\frac{1}{6}}} = {2^{\frac{{19}}{{24}}}}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 19\\y = 24\end{array} \right.\).

Vậy \(x + y = 19 + 24 = 43\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.