Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H (\(E \in
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H (\(E \in AC,F \in AB\))
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Chứng minh \(AH \bot BC\).
c) Gọi \(P,G\) là hai giao điểm của đường thẳng \(EF\) và đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho điểm \(E\) nằm giữa điểm P và điểm F. Chứng minh \(AO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PG\).
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
Ta có:
\(CF \bot AB \Rightarrow \angle AFC = {90^0}\)
\(BE \bot AC \Rightarrow \angle AEB = {90^0}\)
Tứ giác AFHE có \(\angle AFH + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (đpcm).
b) Chứng minh \(AH \bot BC\).
Kéo dài \(AH\) cắt BC tại D.
Do \(BE,CF\) là các đường cao trong tam giác và \(BE \cap CF = \left\{ H \right\}\) nên \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow AD\) là đường cao trong \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow AD \bot BC\).
\( \Rightarrow AH \bot BC\) (đpcm)
c) Gọi \(P,G\) là hai giao điểm của đường thẳng \(EF\) và đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho điểm \(E\) nằm giữa điểm P và điểm F. Chứng minh \(AO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PG\).
Xét tứ giác BFEC có \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\) nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)
\( \Rightarrow \angle AFE = \angle ACB\) (cùng bù với \(\angle BFE\)) (1)
Kẻ đường kính \(AA'\) , gọi \(I\) là giao điểm của \(AO\) và \(PG\).
Tứ giác \(BACA'\) nội tiếp nên \(\angle BAA' = \angle BCA'\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(BA'\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
\( \Rightarrow \angle AFE + \angle BAA' = \angle ACB + \angle BCA'\)
Mà \(\angle ACB + \angle BCA' = \angle A'CA = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên \(\angle AFE + \angle BAA' = {90^0}\) hay \(\angle AFI + \angle FAI = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle AIF = {90^0}\) \( \Rightarrow AO \bot PG\) tại \(I\)
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(PG\) (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)
\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(PG\). (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
