Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài \(\left( O \right).\) Vẽ các tiếp

Câu hỏi số 423297:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài \(\left( O \right).\) Vẽ các tiếp tuyến \(AM,\,\,AN\) với \(\left( O \right)\) (với \(M,\,\,N\) là các tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp.

2. Biết \(OA = 10\,cm\) và \(\angle MAN = {60^0}.\) Tính phần diện tích của tứ giác \(AMON\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:423297

Phương pháp giải

1. Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

2. Tính diện tích \({S_{AMON}}\)

Tính diện tích hình quạt \(MON\)

Suy ra, diện tích phần hình cần tính là \({S_{AMON}} - {S_{quat\,MON}}\)

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác \(AMON\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có:\(AM,\,\,AN\) là các tiếp tuyến tại \(M,\,\,N\) của \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM \bot AM\\ON \bot AN\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle AMO = \angle ANO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(AMON\) ta có:

\(\angle AMO + ANO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow AMON\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb) (đpcm)

2. Biết \(OA = 10\,cm\) và \(\angle MAN = {60^0}.\) Tính phần diện tích của tứ giác \(AMON\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right).\)

Ta có: \(AM,\,\,AN\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(A\)

\( \Rightarrow AO\) là phân giác của \(\angle MAN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

\(\angle MAO = \dfrac{1}{2}\angle MAN = {30^0}\)

Xét \(\Delta AMO\) vuông tại \(M\) ta có:

\(\begin{array}{l}AM = AO.\cos \angle MAO = 10.\cos {30^0} = 5\sqrt 3 \,\,cm.\\OM = R = AO.\sin \angle MAO = 10.\sin {30^0} = 5\,cm.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{AMO}} = \dfrac{1}{2}OM.AM = \dfrac{1}{2}.5.5\sqrt 3 = \dfrac{{25\sqrt 3 }}{2}\,\,\,c{m^2}\\ \Rightarrow {S_{AMON}} = 2.{S_{AMO}} = 2.\dfrac{{25\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 \,\,c{m^2}.\end{array}\)

Ta có: \(AMON\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \angle MAN + \angle MON = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp)

\( \Rightarrow \angle MON = {180^0} - \angle MAN = {180^0} - {60^0} = {120^0}.\)

Mà \(\angle MON\) là góc ở tâm chắn cung \(MN\) \( \Rightarrow cung\,\,MN = {120^0}.\)

\( \Rightarrow \) Diện tích hình quạt \(MON\) là: \({S_0} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{.5}^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{25\pi }}{3}\,\,c{m^2}.\)

\( \Rightarrow \) Diện tích của phần tứ giác \(AMON\) nằm phía ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) là:

\(S = {S_{AMON}} - {S_0} = 25\sqrt 3 - \dfrac{{25\pi }}{3}\,\,\,\left( {c{m^2}} \right).\)

Vậy diện tích phần hình cần tính là: \(25\sqrt 3 - \dfrac{{25\pi }}{3}\,\,c{m^2}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link