Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) tiếp xúc ngoài tại A, với \(R

Câu hỏi số 425223:

Vận dụng cao

Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) tiếp xúc ngoài tại A, với \(R > r\). Kẻ BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn với \(B \in \left( O \right),C \in \left( {O'} \right)\), tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn cắt \(BC\) tại \(M\).

a) Chứng minh bốn điểm \(O,B,M,A\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng tam giác MEF đồng dạng với tam giác MO’O.

d) Cho biết \(R = 16cm\) và \(r = 9cm\). Tính diện tích tứ giác \(OBCO'\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425223

Giải chi tiết

a) Chứng minh bốn điểm \(O,B,M,A\) cùng thuộc một đường tròn.

Gọi I là trung điểm của OM ta có:

\(\angle OBM = {90^0}\) (BM là tiếp tuyến với (O) tại B)

\( \Rightarrow \Delta OBM\) vuông tại B

\( \Rightarrow IO = IM = IB\left( 1 \right)\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)

\(\angle OAM = {90^0}\) (AM là tiếp tuyến với (O) tại A)

\( \Rightarrow \Delta OAM\) vuông tại A

\( \Rightarrow IO = IM = IA\left( 2 \right)\)(trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)

Từ (1) và (2) suy ra \(IO = IM = IB = IA\).

Vậy bốn điểm \(O,B,M,A\) cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính OM. (đpcm)

b) Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

Ta có: \(OA = OB = R\)

\(MA = MB\) (hai tiếp tuyến \(MA,MB\) cắt nhau tại \(M\))

\( \Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn \(AB\)

\( \Rightarrow OM \bot AB \Rightarrow \angle MEA = {90^0}\)

Tương tự \(O'M \bot CA\) \( \Rightarrow \angle MFA = {90^0}\)

\(MA = MB \Rightarrow \Delta MAB\) cân tại M \( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {B_1}\) (1)

\(MC = MA\) \( \Rightarrow \Delta MCA\) cân tại M\( \Rightarrow \angle {A_2} = \angle {C_2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle {A_1} + \angle {A_2} = \angle {B_1} + \angle {C_2} \Rightarrow \angle BAC = \angle {B_1} + \angle {C_2}\)

Mà \(\angle BAC + \angle {B_1} + \angle {C_2} = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \angle BAC = \angle {B_1} + \angle {C_2} = {90^0}\)

Tứ giác AEMF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. (đpcm)

c) Chứng minh rằng tam giác MEF đồng dạng với tam giác MO’O.

Theo câu b, tứ giác AEMF là hình chữ nhật nên \(\angle {F_1} = \angle {A_1}\) (tính chất) (3)

Mà tứ giác OAMB nội tiếp (câu a) nên \(\angle {O_1} = \angle {A_1}\) (cùng chắn cung BM) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\angle {F_1} = \angle {O_1}\)

Xét \(\Delta MEF\) và \(\Delta MO'O\) có:

Góc M chung

\(\angle {F_1} = \angle {O_1}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta MEF \sim \Delta MO'O\left( {g - g} \right)\) (đpcm)

d) Cho biết \(R = 16cm\) và \(r = 9cm\). Tính diện tích tứ giác \(OBCO'\).

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật nên \(\angle EMF = {90^0} \Rightarrow \Delta OMO'\) vuông tại M.

MA là đường cao trong tam giác vuông OMO’ nên:

\(M{A^2} = AO.AO' = 16.9 = 144 \Rightarrow MA = 12\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow MB = MB = 12\left( {cm} \right) \Rightarrow BC = 24\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(O'C \bot BC,OB \bot BC \Rightarrow OB//O'C\) (từ vuông góc đến song song song)

Tứ giác OBCO’ có \(OB//O'C\) và \(\angle OBC = {90^0}\) nên là hình thang vuông.

\( \Rightarrow {S_{OBCO'}} = \dfrac{1}{2}\left( {OB + O'C} \right).BC = \dfrac{1}{2}.\left( {16 + 9} \right).24 = 300\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy \({S_{OBCO'}} = 300c{m^2}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link