Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\) \(BC = a\sqrt 3 \), \(SA = a\) và

Câu hỏi số 425611:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\) \(BC = a\sqrt 3 \), \(SA = a\) và \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\). Tính \(\sin \alpha \), với \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425611

Phương pháp giải

- Đặt hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm \(S,\,\,A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\).

- Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(\sin \left( {d;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}\).

Giải chi tiết

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\). Khi đó ta có:

\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\), \(S\left( {0;0;1} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {BD} = \left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow BD\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {SB} = \left( {1;0; - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;0;\sqrt 3 } \right) = \sqrt 3 \left( {1;0;1} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {SBC} \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(BD\) và \(\left( {SBC} \right)\), ta có: \(\sin \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt 4 .\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.