Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(BC = a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(BC = a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 3 \), \(M\) là trung điểm của \(AC\), tính cotang của góc giữa \(\left( {SBM} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gắn hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm \(S,\,\,A,\,\,B,\,\,C,\,\,M\).
- Sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\). Khi đó ta có:
\(B\left( {0;0;0} \right),\,\,A\left( {1;0;0} \right),\,\,C\left( {0;1;0} \right),\,\,S\left( {1;0;\sqrt 3 } \right)\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên \(M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0} \right)\).
Ta có:
\(\overrightarrow {SB} = \left( { - 1;0; - \sqrt 3 } \right)\), \(\overrightarrow {BM} = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {BM} } \right] = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).
\( \Rightarrow \left( {SBM} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ; - \sqrt 3 ; - 1} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \equiv \left( {Oxz} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \overrightarrow k = \left( {0;1;0} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {\sqrt 3 .0 - \sqrt 3 .1 - 1.0} \right|}}{{\sqrt {3 + 3 + 1} .\sqrt {0 + 1 + 0} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).
\( \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}\).
Vậy \(\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
