Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 425618:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt đáy bằng \({45^0}\). Gọi \(E\) là trung điểm \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(DE\) và \(SC\).

A. \(\dfrac{{\sqrt {19} }}{2}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {19} }}{{19}}\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt {38} }}{{19}}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {38} }}{{19}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425618

Phương pháp giải

- Đặt hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm.

- Sử dụng công thức \(d\left( {DE;SC} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {DE} ;\overrightarrow {SC} } \right].\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left[ {\overrightarrow {DE} ;\overrightarrow {SC} } \right]}}\).

Giải chi tiết

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {45^0}\).

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \).

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\). Khi đó ta có:

\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {1;1;0} \right)\), \(D\left( {1;0;0} \right)\), \(E\left( {\dfrac{1}{2};1;0} \right)\), \(S\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {DE} = \left( { - \dfrac{1}{2};1;0} \right);\,\,\overrightarrow {SC} = \left( {1;1; - \sqrt 2 } \right);\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {0; - 1;0} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {DE} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( { - \sqrt 2 ; - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {DE;SC} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {DE} ;\overrightarrow {SC} } \right].\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left[ {\overrightarrow {DE} ;\overrightarrow {SC} } \right]}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{1}{2} + 2 + \dfrac{9}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt {38} }}{{19}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.