Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích \(MA.MB\) không đổi.
Quảng cáo
Xét các TH: M nằm trong và M nằm ngoài đường tròn.
Xét các cặp tam giác đồng dạng sau đó chứng minh tích MA.MB không đổi.
* Trường hợp 1: \(M\) ở bên trong đường tròn
Ta kẻ cát tuyến \(MAB\) và đường thẳng \(MO\) cắt đường tròn tại \(C,\,\,D.\)
Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDB\) có:
\(\angle MAC = \angle MDB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\))
\(\angle AMC = \angle BMD\) (đối đỉnh)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MDB\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MB}} \Rightarrow MA.MB = MC.MD\end{array}\)
Mà \(O,\,\,M\) cố định \( \Rightarrow MC,\,\,MD\) không đổi
\( \Rightarrow MC.MD\) không đổi \( \Rightarrow MA.MB\) không đổi.
* Trường hợp 2: \(M\) ở bên ngoài đường tròn
Ta kẻ cát tuyến \(MAB\) và đường thẳng \(MO\) cắt đường tròn tại \(C,\,\,D.\)
Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDB\) có:
\(\angle MAC = \angle MDB\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\))
\(\angle AMC = \angle BMD\) (đối đỉnh)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MDB\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MB}} \Rightarrow MA.MB = MC.MD\end{array}\)
Mà \(O,\,\,M\) cố định \( \Rightarrow MC,\,\,MD\) không đổi.
\( \Rightarrow MC.MD\) không đổi \( \Rightarrow MA.MB\) không đổi.
Từ 2 trường hợp trên ta khẳng định được tích \(MA.MB\) không đổi với mỗi điểm M cố định cho trước.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
