Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm

Câu hỏi số 426638:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right).f'\left( x \right)\) là

A. \(\dfrac{{{x^2} + 2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2} }} + C\).

B. \(\dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} + C\).

C. \(\dfrac{{2{x^2} + x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} + C\).

D. \(\dfrac{{x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2} }} + C\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:426638

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần tìm \(\int {g\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {g\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 1} \right)} f'\left( x \right){\rm{d}}x\\ = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\ = \dfrac{{\left( {x + 1} \right).x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} - \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{\rm{d}}x} \end{array}\)

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 2} = t \Rightarrow {x^2} + 2 = {t^2}\)\( \Rightarrow 2xdx = 2tdt \Rightarrow xdx = tdt\)

\( \Rightarrow \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}dx} = \int {\dfrac{{tdt}}{t}} \)\( = \int {dt} = t + {C_1}\)\( = \sqrt {{x^2} + 2} + {C_1}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = \dfrac{{{x^2} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} - \sqrt {{x^2} + 2} - {C_1}\\ = \dfrac{{{x^2} + x - {x^2} - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} - {C_1} = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} + C\end{array}\)

(ở đó \(C = - {C_1}\))

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.