Cho hình chóp đều \(S.ABCD\)có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \) và O là tâm của

Câu hỏi số 427099:

Vận dụng cao

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\)có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \) và O là tâm của đáy. Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác \(SAB,{\rm{ }}SBC,{\rm{ }}SCD,{\rm{ }}SDA\) và \(S'\) là điểm đối xứng với S qua O. Thể tích của khối chóp \(S'.MNPQ\) bằng

A. \(\dfrac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{9}.\,\,\)

B. \(\dfrac{{40\sqrt 6 {a^3}}}{{81}}.\)

C. \(\dfrac{{10\sqrt 6 {a^3}}}{{81}}.\)

D. \(\dfrac{{20\sqrt 6 {a^3}}}{{81}}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:427099

Phương pháp giải

Thể tích khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là \(V = \dfrac{1}{3}Bh\)

Giải chi tiết

Gọi \({G_1},{G_2},{G_3},{G_4}\) là trọng tâm của các \(\Delta SAB,\;SBC,\;SCD,\;SAD\)

Ta có: \({G_2}{G_4},{G_1}{G_3}\) lần lượt là đường trung bình của tam giác \(ONQ\) và \(OMP\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}NQ = 2{G_2}{G_4} = 2.\dfrac{2}{3}.a = \dfrac{{4a}}{3}\\MP = 2{G_1}{G_3} = 2.\dfrac{2}{3}.a = \dfrac{{4a}}{3}\end{array} \right.\).

Do tính chất đối xứng của hình chóp đều nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi.

Suy ra \({S_{ABCD}} = \dfrac{{MP.NQ}}{2} = \dfrac{{8{a^2}}}{9}.\)

Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}E = NQ \cap SO\\F = {G_2}{G_4} \cap SO\end{array} \right.\).

Ta có: \(OA = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}{\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}OE = 2OF\\OF = \dfrac{1}{3}OS\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow OE = \dfrac{2}{3}SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right) = S'E = S'O + OE = SO + OE = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} + \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{5a\sqrt 6 }}{6}.\\ \Rightarrow {V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{8{a^2}}}{9}.\dfrac{{5a\sqrt 6 }}{6} = \dfrac{{20{a^3}\sqrt 6 }}{{81}}.\end{array}\)

Vậy \({V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{{20{a^3}\sqrt 6 }}{{81}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.