Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(AA' = 2a\).

Câu hỏi số 427100:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(AA' = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AA'\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ \(M\)đến mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) là

A. \(\dfrac{{\sqrt {57} a}}{{19}}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 5 a}}{5}\).

C. \(\dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).

D. \(\dfrac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:427100

Phương pháp giải

Sử dụng công thức chuyển điểm: Nếu \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại \(I\) thì \(\dfrac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{AI}}{{BI}}\)

Xác định hình chiếu \(H\) của \(M\) xuống \(\left( P \right)\), khi đó \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = MH\)

Tính toán dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

+) Trong mặt phẳng \(\left( {AA'B'B} \right)\), \(MB \cap AB' = \left\{ I \right\}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MI}}{{IB}} = \dfrac{{MA}}{{BB'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow d\left( {M;\left( {AB'C} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right)\).

+) \(K\) là trung điểm \(AC\), hạ \(BH \bot B'K\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BK\\AC \bot BB'\end{array} \right. \Leftrightarrow AC \bot \left( {BB'K} \right) \Rightarrow AC \bot BH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot B'K\\BH \bot AC\end{array} \right. \Leftrightarrow BH \bot \left( {AB'C} \right) \Leftrightarrow d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right) = BH\).

+) Trong tam giác vuông \(B'KB:BK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};BB' = 2a\).

\(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{B{K^2}}} + \dfrac{1}{{B{{B'}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \dfrac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow BH = \dfrac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a\).

Vậy \(d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt {57} }}{{19}}a\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.