Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy,

Câu hỏi số 427936:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(\angle BAD = {120^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(\angle SMA = {45^0}\). Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến \(\left( {SAC} \right)\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

B. \(a\sqrt 3 \)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:427936

Phương pháp giải

- Chứng minh \(\Delta ABC\) đều, tính \(AM\). Từ đó tính \(SA\).

- Tính \({S_{\Delta ABC}} \Rightarrow {S_{\Delta ACD}}\). Tính \({V_{S.ACD}}\).

- Chứng minh \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\). Tính \({S_{\Delta SAC}}\).

- Tính khoảng cách \(d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SAC}}}}\).

Giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của \(\angle BAD\) \( \Rightarrow \angle BAC = {60^0}\).

\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AC = a\) và \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác \(SAM\) có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AM\), \(\angle SMA = {45^0}\,\,\left( {gt} \right)\).

\( \Rightarrow \Delta SAM\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\) \( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow {S_{\Delta SAC}} = \dfrac{1}{2}SA.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = {S_{\Delta ACD}}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ACD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).

Vậy \(d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SAC}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}}}{8}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.