Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy,
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(\angle BAD = {120^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh và \(\angle SMA = {45^0}\). Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến \(\left( {SBC} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Chứng minh \(\Delta ABC\) đều, tính \(AM\). Từ đó tính \(SA\).
- Tính \({S_{\Delta ABC}} \Rightarrow {S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{\Delta BCD}}\). Tính \({V_{S.BCD}}\).
- Áp dụng tính chất tam giác vuông cân tính \(SM\), từ đó tính \({S_{\Delta SBC}}\).
- Tính khoảng cách \(d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SAC}}}}\).
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) là tia phân giác của \(\angle BAD\) \( \Rightarrow \angle BAC = {60^0}\).
\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow BC = a\) và \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét tam giác \(SAM\) có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AM\), \(\angle SMA = {45^0}\,\,\left( {gt} \right)\).
\( \Rightarrow \Delta SAM\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow SM = SA\sqrt 2 = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}SM.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta BCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
\( \Rightarrow {V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta BCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).
Vậy \(d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SAC}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}}}{8}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
