Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(\angle ABC = {30^0}\). \(SBC\) là tam giác
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(\angle ABC = {30^0}\). \(SBC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và mặt bên \(SBC\) vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính các cạnh của \(\Delta ABC\), từ đó tính \({S_{\Delta ABC}}\) và tính \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\).
- Sử dụng định lí Pytago tính độ dài các cạnh của tam giác \(SAB\), sử dụng công thức Herong tính diện tích tam giác: \({S_{\Delta SAB}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - SB} \right)\left( {p - AB} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác \(SAB\).
- Sử dụng công thức \(d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}}\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Vì tam giác \(SBC\) đều \( \Rightarrow SH \bot BC\) và \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC\\SH \subset \left( {SBC} \right),\,\,SH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(BC = a,\,\,\angle ABC = {30^0}\) \( \Rightarrow AB = BC.\cos {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(AC = BC.\sin {30^0} = \dfrac{a}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{{a^3}}}{{16}}\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\).
Xét tam giác vuông \(SAH\): \(SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = a\).
Nửa chu vi tam giác \(SAB\) là: \(p = \dfrac{{SA + SB + AB}}{2} = \dfrac{{a + a + \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{2} = a\left( {1 + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - SB} \right)\left( {p - AB} \right)} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {39} }}{{16}}\).
Vậy \(d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}}}{{16}}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {39} }}{{16}}}} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
