Cho hàm số (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho đoạn AB có độ dài ngắn nhất.

Câu hỏi số 42965:

Cho hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}$ (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho đoạn AB có độ dài ngắn nhất.

A. y = -x + 7

B. y = - x - 1

C. y = - x + 1

D. cả A và B

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42965

Giải chi tiết

1. Khảo sát sự biến thiên.

+ TXĐ: D = R\{1}

+ Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên $y'=\frac{-4}{(x-1)^{2}}$ < 0 với mọi x khác 1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1); (1;+∞) và các hàm số không có cực trị

- Giới hạn và tiệm cận:

$\lim_{x\rightarrow \pm \infty }y=2$ . Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}y=+\infty ;\lim_{x\rightarrow 1^{-}}y=-\infty$ . Đường x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (-1; 0)

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; -2)

Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng.

Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến đó, tọa độ M $\left ( x_{0};\frac{2x_{0}+2}{x_{0}-1} \right )$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là $y=-\frac{-4}{(x_{0}-1)^{2}}(x-x_{0})+\frac{2x_{0}+2}{x_{0}-1}$

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại A, tọa độ A $\left ( 1;\frac{2x_{0}+6}{x_{0}-1} \right )$

Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang tại B, tọa độ B(2x₀ - 1; 2)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $AB\geq \sqrt{4(x_{0}-1)^{2}+64\left ( \frac{1}{x_{0}-1} \right )^{2}}=4\sqrt{2}$

Vậy AB ngắn nhất bằng 4 $\sqrt{2}$ khi: $4(x_{0}-1)^{2}=64\left ( \frac{1}{x_{0}-1} \right )^{2}\Leftrightarrow (x_{0}-1)^{4}=16\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{0}=3\\ x_{0}=-1 \end{matrix}$

Tức là M(3; 4) hoặc M(-1; 0)

Tiếp tuyến của (C) tại M(3; 4) có phương trình là: y = - x + 7

Tiếp tuyến của (C) tại M(-1; 0) có phương trình là: y = - x - 1

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.