Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

Câu 429712: Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

A. \(D = 1\)

B. \(D = 2\)

C. \(D = \sqrt 3 \)

D. \(D = \sqrt 2 \)

Câu hỏi : 429712

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp chia biểu thức cho một số \(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\)

Áp dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với hai biểu thức \(A,B\) mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B \)tức là :

+) Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B \)

+) Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} = - A\sqrt B \)

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(D = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

Trước hết ta tính \(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }}\)được:

\(\dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} }}\\ = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }}\\ = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{2 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{3 - \sqrt 3 }}\\ = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}\\ = \dfrac{{6 - 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 3 + 6 + 2\sqrt 3 - 3\sqrt 3 - 3}}{{9 - 3}}\\ = \dfrac{6}{6} = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{D}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow D = \sqrt 2 .\)

Vậy \(D = \sqrt 2 \)

Chọn D.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.