Rút gọn \(M = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

Câu 429711: Rút gọn \(M = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

A. \(M = 0\)

B. \(M = \sqrt 2 \)

C. \(M = - \sqrt 2 \)

D. \(M = 1\)

Câu hỏi : 429711

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp chia biểu thức cho một số \(\dfrac{M}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)

Áp dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

Với hai biểu thức A,B mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B \)tức là :

+) Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B \)

+) Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(\sqrt {{A^2}B} = - A\sqrt B \)

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(M = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

Trước hết ta tính \(\dfrac{M}{{\sqrt 2 }}\) được:

\(\dfrac{M}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {5 + 2\sqrt 5 + 1} }} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} }}\\ = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} }} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} }}\\ = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{2 + \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{{2 - \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{{3 - \sqrt 5 }}\\ = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right) + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\\ = \dfrac{{3 - \sqrt 5 + 3\sqrt 5 - 5 + 3 + \sqrt 5 - 3\sqrt 5 - 5}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\\ = \dfrac{{ - 4}}{{9 - 5}} = \dfrac{{ - 4}}{4} = - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{M}{{\sqrt 2 }} = - 1 \Leftrightarrow M = - \sqrt 2 .\)

Vậy \(M = - \sqrt 2 \)

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây