Giải phương trình \(\cos x.\sqrt {\dfrac{1}{{\cos x}} - 1} + \cos 2x.\sqrt {\dfrac{1}{{\cos 2x}} - 1} =

Câu hỏi số 429842:

Vận dụng

Giải phương trình \(\cos x.\sqrt {\dfrac{1}{{\cos x}} - 1} + \cos 2x.\sqrt {\dfrac{1}{{\cos 2x}} - 1} = \dfrac{5}{4}\).

A. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

B. \(x = k\pi \).

C. Vô nghiệm.

D. Cả A và B đúng.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:429842

Phương pháp giải

- Đưa \(\cos x,\,\,\cos 2x\) vào trong căn.

- Sử dụng hằng đẳng thức, chứng minh \(a - {a^2} \le \dfrac{1}{4}\,\,\forall a\), từ đó nhận xét.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x > 0\\\cos 2x > 0\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos x.\sqrt {\dfrac{1}{{\cos x}} - 1} + \cos 2x.\sqrt {\dfrac{1}{{\cos 2x}} - 1} = \dfrac{5}{4}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x\left( {\dfrac{1}{{\cos x}} - 1} \right)} + \sqrt {{{\cos }^2}2x\left( {\dfrac{1}{{\cos 2x}} - 1} \right)} = \dfrac{5}{4}\\ \Leftrightarrow \sqrt {\cos x - {{\cos }^2}x} + \sqrt {\cos 2x - {{\cos }^2}2x} = \dfrac{5}{4}\end{array}\)

Với mọi \(a\) ta có: \({a^2} - a + \dfrac{1}{4} = {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\), suy ra \(a - {a^2} \le \dfrac{1}{4}\,\,\forall a\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x - {\cos ^2}x \le \dfrac{1}{4}\\\cos 2x - {\cos ^2}2x \le \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {\cos x - {{\cos }^2}x} \le \dfrac{1}{2}\\\sqrt {\cos 2x - {{\cos }^2}2x} \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \sqrt {\cos x - {{\cos }^2}x} + \sqrt {\cos 2x - {{\cos }^2}2x} \le 1\,\,\forall x < \dfrac{5}{4}\).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.