Giải phương trình \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \dfrac{7}{8}\cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cot \left(

Câu hỏi số 429843:

Vận dụng

Giải phương trình \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \dfrac{7}{8}\cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cot \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right)\).

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = - \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = - \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

D. Đáp án khác.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:429843

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Chứng minh \(VP = \dfrac{7}{8}\).

- Sử dụng hằng đẳng thức \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\).

- Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}2x = \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2}\), sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0\\\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) \ne 0\).

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) - \cos \dfrac{\pi }{2}} \right] \ne 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \ne 0\) \( \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{6} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cot \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right)\\ = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x - \dfrac{\pi }{3}} \right).\cot \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right)\\ = \tan \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right).\cot \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) = 1\end{array}\)

Do đó phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \dfrac{7}{8}\\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \dfrac{7}{8}\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x = \dfrac{7}{8}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \cos 4x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 4x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {TM} \right)\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.