Giải phương trình \({\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = 1\).

Câu hỏi số 429851:

Vận dụng

A. \( - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k2\pi \).

B. \(\dfrac{{k\pi }}{2}\).

C. \(\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k2\pi \).

D. Vô nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:429851

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

- Nhóm hạng tử, đưa sin về cùng vế, cos về cùng vế.

- Đánh giá và nhận xét một vế luôn không âm, một vế luôn không dương. Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right) = {\cos ^2}x\left( {1 - {{\cos }^{13}}x} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}0 \le {\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow {\sin ^2}x - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right) \le 0\,\,\forall x\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l} - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le {\cos ^{13}}x \le 1\\ \Leftrightarrow 1 - {\cos ^{13}}x \ge 0\\ \Rightarrow {\cos ^2}x\left( {1 - {{\cos }^{13}}x} \right) \ge 0\,\,\forall x\end{array}\)

\(VT \le 0,\,\,VP \ge 0 \Rightarrow \) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = \pm 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.