Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {5;\,\,3} \right)\), \(B\left( {2;\,\, - 3} \right)\), \(C\left(

Câu hỏi số 430719:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {5;\,\,3} \right)\), \(B\left( {2;\,\, - 3} \right)\), \(C\left( { - 2;\,\,1} \right)\). Xác định trên trục tung điểm \(N\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {NA} - 4\overrightarrow {NB} + 9\overrightarrow {NC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(N\left( {0;\,\,4} \right)\)

B. \(N\left( {0;\,\, - 4} \right)\)

C. \(N\left( { - \dfrac{7}{3};\,\,4} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{7}{3};\,\,4} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430719

Phương pháp giải

Giả sử \(I\left( {x;\,\,y} \right)\). Đánh giá để tìm GTNN của biểu thức.

Giải chi tiết

Giả sử \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 9\overrightarrow {IC} = \vec 0\).

Đặt \(I\left( {x;\,\,y} \right)\). Ta có:

Ta có: \(I\left( {x;\,\,y} \right)\), \(A\left( {5;\,\,3} \right)\), \(B\left( {2;\,\, - 3} \right)\), \(C\left( { - 2;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( {5 - x;\,\,3 - y} \right)\\\overrightarrow {IB} = \left( {2 - x;\,\, - 3 - y} \right)\\\overrightarrow {IC} = \left( { - 2 - x;\,\,1 - y} \right)\end{array} \right..\)

Theo đề bài, \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 9\overrightarrow {IC} = \vec 0\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x - 4\left( {2 - x} \right) + 9\left( { - 2 - x} \right) = 0\\3 - y - 4\left( { - 3 - y} \right) + 9\left( {1 - y} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x - 8 + 4x - 18 - 9x = 0\\3 - y + 12 + 4y + 9 - 9y = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 21 = 0\\ - 6y + 24 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{7}{3}\\y = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{7}{3};\,\,4} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow {NA} - 4\overrightarrow {NB} + 9\overrightarrow {NC} } \right|\\ = \left| {\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IA} } \right) - 4\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IB} } \right) + 9\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = \left| {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {NI} - 4\overrightarrow {IB} + 9\overrightarrow {NI} + 9\overrightarrow {IC} } \right|\\ = \left| {6\overrightarrow {NI} + \left( {\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 9\overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = \left| {6\overrightarrow {NI} } \right|\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {NA} - 4\overrightarrow {NB} + 9\overrightarrow {NC} } \right| = \left| {6\overrightarrow {NI} } \right| = 6NI\end{array}\)

Do đó, \(\left| {\overrightarrow {NA} - 4\overrightarrow {NB} + 9\overrightarrow {NC} } \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) \(NI\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) \(N\) là hình chiếu của \(I\) trên trục tung.

\( \Rightarrow N\left( {0;\,\,4} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.