Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {5;\,\,3} \right)\), \(B\left( {2;\,\, - 3} \right)\), \(C\left(

Câu hỏi số 430719:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {5;\,\,3} \right)\), \(B\left( {2;\,\, - 3} \right)\), \(C\left( { - 2;\,\,1} \right)\). Xác định trên trục tung điểm \(N\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {NA} - 4\overrightarrow {NB} + 9\overrightarrow {NC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(N\left( {0;\,\,4} \right)\)

B. \(N\left( {0;\,\, - 4} \right)\)

C. \(N\left( { - \dfrac{7}{3};\,\,4} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{7}{3};\,\,4} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430719

Phương pháp giải

Giả sử \(I\left( {x;\,\,y} \right)\). Đánh giá để tìm GTNN của biểu thức.

Giải chi tiết

Giả sử \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 9\overrightarrow {IC} = \vec 0\).

Đặt \(I\left( {x;\,\,y} \right)\). Ta có:

Ta có: \(I\left( {x;\,\,y} \right)\), \(A\left( {5;\,\,3} \right)\), \(B\left( {2;\,\, - 3} \right)\), \(C\left( { - 2;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( {5 - x;\,\,3 - y} \right)\\\overrightarrow {IB} = \left( {2 - x;\,\, - 3 - y} \right)\\\overrightarrow {IC} = \left( { - 2 - x;\,\,1 - y} \right)\end{array} \right..\)

Theo đề bài, \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 9\overrightarrow {IC} = \vec 0\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x - 4\left( {2 - x} \right) + 9\left( { - 2 - x} \right) = 0\\3 - y - 4\left( { - 3 - y} \right) + 9\left( {1 - y} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x - 8 + 4x - 18 - 9x = 0\\3 - y + 12 + 4y + 9 - 9y = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 21 = 0\\ - 6y + 24 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{7}{3}\\y = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{7}{3};\,\,4} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow {NA} - 4\overrightarrow {NB} + 9\overrightarrow {NC} } \right|\\ = \left| {\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IA} } \right) - 4\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IB} } \right) + 9\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = \left| {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {NI} - 4\overrightarrow {IB} + 9\overrightarrow {NI} + 9\overrightarrow {IC} } \right|\\ = \left| {6\overrightarrow {NI} + \left( {\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 9\overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = \left| {6\overrightarrow {NI} } \right|\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {NA} - 4\overrightarrow {NB} + 9\overrightarrow {NC} } \right| = \left| {6\overrightarrow {NI} } \right| = 6NI\end{array}\)

Do đó, \(\left| {\overrightarrow {NA} - 4\overrightarrow {NB} + 9\overrightarrow {NC} } \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) \(NI\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) \(N\) là hình chiếu của \(I\) trên trục tung.

\( \Rightarrow N\left( {0;\,\,4} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10