Cho \(\Delta ABC;\) trên \(BC,\,\,AC,\,\,AB\) lấy các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) sao cho \(\overrightarrow {MB}

Câu hỏi số 431497:

Nhận biết

Cho \(\Delta ABC;\) trên \(BC,\,\,AC,\,\,AB\) lấy các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} \); \(\overrightarrow {PA} + \;\overrightarrow {PB} = \vec 0\).

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {PM} \); \(\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \).

b) Chứng minh rằng: \(M,\,\,N,\,\,\,P\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431497

Phương pháp giải

a) Sử dụng các quy tắc chèn điểm và quy tắc hình bình hành để biểu diễn các vecto.

b) Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \,\,\left( {k \ne 0} \right).\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có: \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} \)

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {PM} \); \(\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \).

\(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PA} + \;\overrightarrow {AM} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {PM} = - \overrightarrow {\;AP} + \;\overrightarrow {AM} \\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\left( {\overrightarrow {AC} + \;\overrightarrow {CM} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\overrightarrow {AC} + \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\overrightarrow {AC} + \;\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \;\overrightarrow {AC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\overrightarrow {AC} + \;\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \;\overrightarrow {AC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\overrightarrow {AC} - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \;\\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\overrightarrow {AB} + \;\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} \;\\ \Rightarrow \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {\;PA} + \;\overrightarrow {AN} = \; - \overrightarrow {\;AP} + \;\overrightarrow {AN} \;\\ \Rightarrow \overrightarrow {PN} = - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} \;\end{array}\)

b) Chứng minh rằng: \(M,\,\,N,\,\,\,P\) thẳng hàng.

Ta có: \(\overrightarrow {PM} = \; - \;\overrightarrow {AB} + \;\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} = \; - \left( {\overrightarrow {AB} - \;\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\(\overrightarrow {PN} = - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} = \; - \;\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \;\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Rightarrow \;\overrightarrow {PM} = 2\overrightarrow {PN} \)

\( \Rightarrow P,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10