Cho \(\Delta ABC;\) trên \(BC,\,\,AC,\,\,AB\) lấy các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) sao cho \(\overrightarrow {MB}

Câu hỏi số 431497:

Nhận biết

Cho \(\Delta ABC;\) trên \(BC,\,\,AC,\,\,AB\) lấy các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} \); \(\overrightarrow {PA} + \;\overrightarrow {PB} = \vec 0\).

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {PM} \); \(\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \).

b) Chứng minh rằng: \(M,\,\,N,\,\,\,P\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431497

Phương pháp giải

a) Sử dụng các quy tắc chèn điểm và quy tắc hình bình hành để biểu diễn các vecto.

b) Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \,\,\left( {k \ne 0} \right).\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có: \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} \)

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {PM} \); \(\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \).

\(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PA} + \;\overrightarrow {AM} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {PM} = - \overrightarrow {\;AP} + \;\overrightarrow {AM} \\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\left( {\overrightarrow {AC} + \;\overrightarrow {CM} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\overrightarrow {AC} + \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\overrightarrow {AC} + \;\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \;\overrightarrow {AC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\overrightarrow {AC} + \;\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \;\overrightarrow {AC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\overrightarrow {AC} - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \;\\ \Rightarrow \overrightarrow {PM} = \; - \;\overrightarrow {AB} + \;\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} \;\\ \Rightarrow \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {\;PA} + \;\overrightarrow {AN} = \; - \overrightarrow {\;AP} + \;\overrightarrow {AN} \;\\ \Rightarrow \overrightarrow {PN} = - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} \;\end{array}\)

b) Chứng minh rằng: \(M,\,\,N,\,\,\,P\) thẳng hàng.

Ta có: \(\overrightarrow {PM} = \; - \;\overrightarrow {AB} + \;\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} = \; - \left( {\overrightarrow {AB} - \;\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\(\overrightarrow {PN} = - \;\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \;\dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} = \; - \;\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \;\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Rightarrow \;\overrightarrow {PM} = 2\overrightarrow {PN} \)

\( \Rightarrow P,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.