Chứng minh rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x -

Câu hỏi số 432151:

Vận dụng

Chứng minh rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) có nghiệm với mọi giá trị của \(a,\,\,b,\,\,c\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:432151

Phương pháp giải

Nhân khai triển, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai.

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm bằng điều kiện \(\Delta \ge 0\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\\,\,\,\,\, = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0\,\,\,\forall a,\,\,b,\,\,c.\end{array}\)

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(a,\,\,b,\,\,c\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link