Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n,\) ta có:\({\left[ {{{\left( {27x + 5} \right)}^7} + 10}

Câu hỏi số 432404:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n,\) ta có:\({\left[ {{{\left( {27x + 5} \right)}^7} + 10} \right]^7} + {\left[ {{{\left( {10n + 27} \right)}^7} + 5} \right]^7} + {\left[ {{{\left( {5n + 10} \right)}^7} + 27} \right]^7}\) chia hết cho \(42.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:432404

Phương pháp giải

Chứng minh A chia hết cho 2 ; 3 ;7.

Giải chi tiết

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n,\) ta có:

\({\left[ {{{\left( {27x + 5} \right)}^7} + 10} \right]^7} + {\left[ {{{\left( {10n + 27} \right)}^7} + 5} \right]^7} + {\left[ {{{\left( {5n + 10} \right)}^7} + 27} \right]^7}\)

chia hết cho \(42.\)

Định lí nhỏ Fermat: a, p là số nguyên tố, \(\left( {a;p} \right) = 1\) thì \({a^{p - 1}} \equiv 1\,\,\,\left( {\bmod p} \right)\).

+) \(\forall a \in \mathbb{Z}:\,\,{a^p} \equiv a\,\,\left( {\bmod p} \right)\).

\(\begin{array}{l} + )\,\,A = {\left( {{{\left( {27n + 5} \right)}^7} + 10} \right)^7} + {\left( {{{\left( {10n + 27} \right)}^7} + 5} \right)^7} + {\left( {{{\left( {5n + 10} \right)}^7} + 27} \right)^7}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \equiv {\left( {27n + 5 + 10} \right)^7} + {\left( {10n + 27 + 5} \right)^7} + {\left( {5n + 10 + 27} \right)^7}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \equiv 27n + 15 + 10n + 32 + 5n + 37\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \equiv 42n + 84 \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\ \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,7\end{array}\)

+) Chứng minh A chia hết cho 2.

TH1: \(n\) chẵn

\(27n + 5\) lẻ \( \Rightarrow {\left( {27n + 5} \right)^7}\) lẻ \( \Rightarrow {\left( {{{\left( {27n + 5} \right)}^7} + 10} \right)^7}\) lẻ.

\(10n + 27\) lẻ \( \Rightarrow {\left( {10n + 27} \right)^7}\) lẻ \( \Rightarrow {\left( {{{\left( {10n + 27} \right)}^7} + 5} \right)^7}\) chẵn.

\(5n + 10\) chẵn \( \Rightarrow {\left( {5n + 10} \right)^7}\) chẵn \( \Rightarrow {\left( {{{\left( {5n + 10} \right)}^7} + 27} \right)^7}\) lẻ.

\( \Rightarrow A\) chẵn \( \Rightarrow A\) chia hết cho \(2.\)

TH2: \(n\) lẻ.

\(27n + 5\) chẵn \( \Rightarrow {\left( {27n + 5} \right)^7}\) chẵn \( \Rightarrow {\left( {{{\left( {27n + 5} \right)}^7} + 10} \right)^7}\) chẵn.

\(10n + 27\) lẻ \( \Rightarrow {\left( {10n + 27} \right)^7}\) lẻ \( \Rightarrow {\left( {{{\left( {10n + 27} \right)}^7} + 5} \right)^7}\) chẵn.

\(5n + 10\) lẻ \( \Rightarrow {\left( {5n + 10} \right)^7}\) lẻ \( \Rightarrow {\left( {{{\left( {5n + 10} \right)}^7} + 27} \right)^7}\) chẵn.

\( \Rightarrow A\) chẵn \( \Rightarrow A\) chia hết cho \(2.\)

\( \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,2\,\,\forall n\).

+) Chứng minh A chia hết cho 3.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,A = {\left( {{{\left( {27n + 5} \right)}^7} + 10} \right)^7} + {\left( {{{\left( {10n + 27} \right)}^7} + 5} \right)^7} + {\left( {{{\left( {5n + 10} \right)}^7} + 27} \right)^7}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \equiv \underbrace {{{\left( {{2^7} + 1} \right)}^7}}_{ \vdots \,\,3} + {\left( {{n^7} + 2} \right)^7} + {\left( {{{\left( {2n + 1} \right)}^7}} \right)^7}\end{array}\)

TH1: \(n = 3k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{n^7} + 2} \right)^7} \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\{\left( {{{\left( {2n + 1} \right)}^7}} \right)^7} \equiv {1^7} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,3\).

TH2: \(n = 3k + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{n^7} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Leftrightarrow {n^7} + 2 \equiv 0\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\{\left( {2n + 1} \right)^7} = {\left( {6k + 3} \right)^7} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,3\).

TH3: \(n = 3k + 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{n^7} + 2} \right)^7} \equiv {\left( {{2^7} + 2} \right)^7} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\{\left( {{{\left( {2n + 1} \right)}^7}} \right)^7} = {\left( {2n + 1} \right)^{49}} = {\left( {6k + 5} \right)^7} \equiv {\left( { - 1} \right)^7} \equiv - 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,3\).

Vậy \(A\,\, \vdots \,\,3\).

Do đó \(A\) chia hết cho \(2;\,\,3;\,\,7.\) . Mà \(2;3;7\) đôi một nguyên tố cùng nhau.

Vậy \(A\,\, \vdots \,\,BCNN\left( {2;3;7} \right) \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,42\,\,\left( {dpcm} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link