Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), có cạnh đáy bằng \(a\), góc giữa cạnh bên \(SC\) và

Câu hỏi số 433659:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), có cạnh đáy bằng \(a\), góc giữa cạnh bên \(SC\) và \(mp\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}\). Gọi \(M,\,\,N\) tương ứng là trung điểm các cạnh \(SC,\,\,SD\). Thể tích của khối chóp \(S.ABMN\) là:

A. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{16}}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{8}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:433659

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Ta có: \({V_{S.ABMN}} = {V_{S.ABM}} + {V_{S.AMN}}\).

Đặt \({V_{S.ABCD}} = V\), ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.ABM}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{4}V\\\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{8}V\\ \Rightarrow {V_{S.ABMN}} = {V_{S.ABM}} + {V_{S.AMN}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}V + \dfrac{1}{8}V = \dfrac{3}{8}V\end{array}\)

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;OC} \right) = \angle SCO = {60^0}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(SOC\) có: \(SO = OC.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).

Vậy \({V_{S.ABMN}} = \dfrac{3}{8}V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.