Cho hàm số \(y = \dfrac{2}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3 - m} \right)x + m - 1\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

Câu 433660: Cho hàm số \(y = \dfrac{2}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3 - m} \right)x + m - 1\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

A. \(9\)

B. \(8\)

C. \(7\)

D. \(5\)

Câu hỏi : 433660

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Bất phương trình \(f\left( {x;m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \min f\left( {x;m} \right) \ge 0\).

- Hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có bề lõm hướng lên đạt GTNN tại đỉnh của parabol.

Đáp án : A
(58) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,y = \dfrac{2}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3 - m} \right)x + m - 1\\ \Rightarrow y' = 2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 3 - m\end{array}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 3 - m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

TH1:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 3 - m \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {3 - m} \right) \le 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le m \le 1\end{array}\)

TH2:

\(2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 3 - m = 0\) có 2 nghiệm không dương phân biệt.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} + 4m - 5 > 0\\ - m - 1 < 0\\3 - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 5\end{array} \right.\\m > - 1\\m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le 3\).

Kết hợp 2 TH ta có: \(m \in \left[ { - 5;3} \right]\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Vậy có 9 giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.