Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng \((SBC)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), cạnh \(SB = SC = 1\),
Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng \((SBC)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), cạnh \(SB = SC = 1\), \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^o}\). Gọi \(M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(SA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,SB\) sao cho \(SA = x{\mkern 1mu} SM{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (x > 0)\), \(SB = 2SN\). Giá trị \(x\)bằng bao nhiêu để thể tích khối tứ diện SCMN bằng \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{32}}\)?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác : Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},{\mkern 1mu} {B_1},{\mkern 1mu} {C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,{\mkern 1mu} SB,{\mkern 1mu} SC\). Khi đó, \(\dfrac{{{V_{S.{\kern 1pt} {A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\). Từ đó suy ra thể tích khối chóp S.ABC.
- Gọi \(H\) là trung điểm của BC, chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và tính SH.
- Tính diện tích \(\Delta ABC\) theo \(x\).
- Đặt \(SA = m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)\), sử dụng định lí Cosin trong tam giác tính AB.
- Chứng minh \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), từ đó suy ra \(AH \bot BC\).
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH tìm \(x\).
Gọi \(H\) là trung điểm của BC, do tam giác SBC cân tại \(S\) \( \Rightarrow SH \bot BC\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC}\\{SH \subset \left( {SBC} \right),SH \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Tam giác SBC có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SB = SC = 1}\\{\angle BSC = {{60}^0}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \Delta SBC\) đều cạnh 1 và \(SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), \(BH = CH = \dfrac{1}{2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{V_{S.CMN}}}}{{{V_{S.CAB}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{2x}}}\\{ \Rightarrow {V_{S.CAB}} = 2x{V_{S.CMN}} = 2x.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{32}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{{16}}}\\{ \Rightarrow \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{{16}}}\\{ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{{16}}}\\{ \Leftrightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{x\sqrt 6 }}{8}}\end{array}\)
Đặt \(SA = m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SHA có:\(AH = \sqrt {S{A^2} - S{H^2}} = \sqrt {{m^2} - \dfrac{3}{4}} \) .
Xét \(\Delta SAB\) và \(\Delta SAC\) có: SA chung, \(\angle ASB = \angle ASC = {60^0}\), \(SB = SC = 1\).
\( \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AB = AC\).
\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AH \bot BC\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SAB ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} = S{B^2} + S{A^2} - 2.SA.SB.\cos \angle ASB}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 1 + {m^2} - 2.1.m.\dfrac{1}{2} = {m^2} - m + 1}\end{array}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}}\\{ \Leftrightarrow {m^2} - m + 1 = {m^2} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}}\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow AH = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} - \dfrac{3}{4}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}}\\{ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.1 = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}}\\{ \Rightarrow \dfrac{{x\sqrt 6 }}{8} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4} \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right).}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
