Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
a) Với \(a,\,\,b \ge 0.\) Chứng minh \(a + b \ge 2\sqrt {ab} .\)
b) Áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} ,\) biết \(x + y = 6.\)
Câu 434515: a) Với \(a,\,\,b \ge 0.\) Chứng minh \(a + b \ge 2\sqrt {ab} .\)
b) Áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} ,\) biết \(x + y = 6.\)
a) Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall a,\,\,b \ge 0.\)
b) Áp dụng bất đẳng thức \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) khi \(a,\,\,b \ge 0\) để tìm GTLN của biểu thức.
-
Giải chi tiết:
a) Với \(a,\,\,b \ge 0.\) Chứng minh \(a + b \ge 2\sqrt {ab} .\)
Với mọi \(a,\,\,b \ge 0\) ta có: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\) \( \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b.\)
b) Áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} ,\) biết \(x + y = 6.\)
Điều kiện: \(x \ge 2,\,\,y \ge 3.\)
Ta có: \(S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S^2} = x - 2 + y - 3 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x + y - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6 - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} .\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) với \(a,\,\,b \ge 0\) ta có:
\(2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \le x - 2 + y - 3 = 6 - 5 = 1\)
\( \Rightarrow {S^2} = 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \le 1 + 1 = 2\)
\( \Rightarrow {S^2} \le 2 \Rightarrow S \le \sqrt 2 .\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = y - 3\\x + y = 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\x + y = 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{7}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(S = \sqrt 2 \) khi \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\dfrac{5}{2};\,\,\dfrac{7}{2}} \right).\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
