a) Với \(a,\,\,b \ge 0.\) Chứng minh \(a + b \ge 2\sqrt {ab} .\) b) Áp dụng tính giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 434515:

Vận dụng cao

a) Với \(a,\,\,b \ge 0.\) Chứng minh \(a + b \ge 2\sqrt {ab} .\)

b) Áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} ,\) biết \(x + y = 6.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434515

Phương pháp giải

a) Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall a,\,\,b \ge 0.\)

b) Áp dụng bất đẳng thức \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) khi \(a,\,\,b \ge 0\) để tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết

a) Với \(a,\,\,b \ge 0.\) Chứng minh \(a + b \ge 2\sqrt {ab} .\)

Với mọi \(a,\,\,b \ge 0\) ta có: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\) \( \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b.\)

b) Áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} ,\) biết \(x + y = 6.\)

Điều kiện: \(x \ge 2,\,\,y \ge 3.\)

Ta có: \(S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S^2} = x - 2 + y - 3 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x + y - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6 - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} .\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) với \(a,\,\,b \ge 0\) ta có:

\(2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \le x - 2 + y - 3 = 6 - 5 = 1\)

\( \Rightarrow {S^2} = 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \le 1 + 1 = 2\)

\( \Rightarrow {S^2} \le 2 \Rightarrow S \le \sqrt 2 .\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = y - 3\\x + y = 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\x + y = 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{7}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S = \sqrt 2 \) khi \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\dfrac{5}{2};\,\,\dfrac{7}{2}} \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link