a) Với \(a,\,\,b \ge 0.\) Chứng minh \(a + b \ge 2\sqrt {ab} .\) b) Áp dụng tính giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 434515:

Vận dụng cao

a) Với \(a,\,\,b \ge 0.\) Chứng minh \(a + b \ge 2\sqrt {ab} .\)

b) Áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} ,\) biết \(x + y = 6.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434515

Phương pháp giải

a) Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall a,\,\,b \ge 0.\)

b) Áp dụng bất đẳng thức \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) khi \(a,\,\,b \ge 0\) để tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết

a) Với \(a,\,\,b \ge 0.\) Chứng minh \(a + b \ge 2\sqrt {ab} .\)

Với mọi \(a,\,\,b \ge 0\) ta có: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\) \( \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b.\)

b) Áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} ,\) biết \(x + y = 6.\)

Điều kiện: \(x \ge 2,\,\,y \ge 3.\)

Ta có: \(S = \sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 3} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S^2} = x - 2 + y - 3 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x + y - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6 - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} .\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) với \(a,\,\,b \ge 0\) ta có:

\(2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \le x - 2 + y - 3 = 6 - 5 = 1\)

\( \Rightarrow {S^2} = 1 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {y - 3} \right)} \le 1 + 1 = 2\)

\( \Rightarrow {S^2} \le 2 \Rightarrow S \le \sqrt 2 .\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = y - 3\\x + y = 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\x + y = 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{7}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S = \sqrt 2 \) khi \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\dfrac{5}{2};\,\,\dfrac{7}{2}} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link