Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) có \(AB = 12cm,\) \(AC = 16cm.\) Kẻ đường cao \(AM.\) Kẻ \(ME \bot

Câu hỏi số 434514:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) có \(AB = 12cm,\) \(AC = 16cm.\) Kẻ đường cao \(AM.\) Kẻ \(ME \bot AB.\)

a) Tính \(BC,\,\,\angle B,\,\,\angle C.\)

b) Tính độ dài \(AM,\,\,BM.\)

c) Chứng minh \(AE.AB = A{C^2} - M{C^2}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434514

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lý Pitago để tính \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} .\)

Sử dụng các công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và định lý tổng số đo của 3 góc trong tam giác để tính số đo của \(\angle B,\,\,\angle C.\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) có đường cao \(AM\) ta có: \(AM.BC = AB.AC\) và \(A{B^2} = BM.BC.\)

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(AMB\) vuông tại \(A,\) có đường cao \(ME\) ta có: \(A{M^2} = AE.AB\) và định lý Pitago cho \(\Delta AMC\) vuông tại \(M\) để chứng minh đẳng thức đề bài yêu cầu.

Giải chi tiết

a) Tính \(BC,\,\,\angle B,\,\,\angle C.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \) \( = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} = \sqrt {400} \) \( = 20\,\,cm.\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\sin \angle B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{16}}{{20}} = 0,8\) \( \Rightarrow \angle B \approx {53^0}.\)

\( \Rightarrow \angle C = {90^0} - \angle B\) \( = {90^0} - {53^0} = {37^0}.\)

b) Tính độ dài \(AM,\,\,BM.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) có đường cao \(AM\) ta có: \(AM.BC = AB.AC\)

\( \Rightarrow AM = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{12.16}}{{20}} = 9.6\,\,\left( {cm} \right).\)

Lại có: \(A{B^2} = BM.BC\) \( \Rightarrow BM = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{20}} = 7,2\,\,cm.\)

Vậy \(AM = 9,6\,\,cm\) và \(BM = 7,2\,\,cm.\)

c) Chứng minh \(AE.AB = A{C^2} - M{C^2}.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(AMB\) vuông tại \(A,\) có đường cao \(ME\) ta có: \(A{M^2} = AE.AB\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta AMC\) vuông tại \(M\) ta có: \(A{M^2} = A{C^2} - M{C^2}\)

\( \Rightarrow AE.AB = A{C^2} - M{C^2}\,\,\left( { = A{M^2}} \right)\,\,\left( {dpcm} \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link